Diketahui deret geometri tak hingga \( U_1+U_2+U_3+\cdots \). Jika rasio deret tersebut adalah \(r\) dengan \(-1 < r < 1\) dan \( U_1+U_3+U_5+\cdots = \frac{2}{3}U_1+(U_2+U_4+U_6+\cdots) \) maka nilai \(r^2 = \cdots \)
- 1/9
- 1/4
- 1/3
- 1/2
- 1
(Soal SBMPTN 2013)
Pembahasan:
Diketahui \( U_1+U_3+U_5+\cdots = \frac{2}{3}U_1+(U_2+U_4+U_6+\cdots) \) sehingga kita peroleh berikut:
\begin{aligned} U_1+U_3+U_5+\cdots &= \frac{2}{3}U_1+(U_2+U_4+U_6+\cdots) \\[8pt] S_{\text{ganjil}} &= \frac{2}{3}a+S_{\text{genap}} \\[8pt] \frac{a}{1-r^2} &= \frac{2}{3}a+\frac{ar}{1-r^2} \\[8pt] \frac{a}{1-r^2}-\frac{ar}{1-r^2} &= \frac{2}{3}a \\[8pt] \frac{a(1-r)}{(1-r)(1+r)} &= \frac{2}{3}a \\[8pt] \frac{1}{1+r} &= \frac{2}{3} \Leftrightarrow 2+ 2r = 3 \\[8pt] 2r &= 3-2 \Leftrightarrow r = \frac{1}{2} \\[8pt] r^2 &= \left(\frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \end{aligned}
Jawaban B.